Tiểu luận Lý luận về cái riêng và cái chung của phép biện chứng duy vật. Liên hệ thực tiễn

Đề tài số 9
Lý luận về cái riêng – cái chung của phép biện chứng duy vật. Liên hệ thực tiễn.
Phần 1 : Lý luận cơ bản
* Quan điểm của phép biện chứng duy vật về cái riêng, cái chung, cái đơn nhất :
- Cái chung và cái riêng là một cặp phạm trù trong phép biện chứng duy vật Mác-Lenin và là một trong những nội dung của nguyên lý về mối liên hệ phổ biến dùng để chỉ mối quan hệ biện chứng giữa cái riêng tức phạm trù chỉ về một sự vật, một hiện tượng, một quá trình nhất định với cái chung tức phạm trù chỉ những mặt,những thuộc tính không những có ở một kết cấu vật chất nhất định, mà còn được lặp lại trong nhiều sự vật, hiện tượng hay quá trình riêng lẻ khác .
* Mối quan hệ biện chứng giữa cái riêng, cái chung, cái đơn nhất :
Phép biện chứng duy vật của Triết học Marx-Lenin cho rằng cái riêng, cái chung và cái đơn nhất đều tồn tại khách quan, giữa chúng có mối liên hệ hữu cơ với nhau ; phạm trù cái riêng được dùng để chỉ một sự vật, một hiện tượng, một quá trình riêng lẻ nhất định, còn phạm trù cái chung được dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính chung không những có ở một kết cấu vật chất nhất định, mà còn được lặp lại trong nhiều sự vật, hiện tượng hay quá trình riêng lẻ khác.
Trong tác phẩm Bút ký Triết học, Lenin đã viết rằng:
Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng. Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ đưa đến cái chung. Bất cứ cái riêng [nào cũng] là cái chung.Bất cứ cái chung nào cũng là [một bộ phận, một khía cạnh, hay một bản chất] của cái riêng. Bất cứ cái chung nào cũng chỉ bao quát một cách đại khái tất cả mọi vật riêng lẻ. Bất cứ cái riêng nào cũng không gia nhập đầy đủ vào cái chung
Cụ thể là :
Cái chung chỉ tồn tại và biểu hiện thông qua cái riêng. Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng mà biểu hiện sự tồn tại của mình, không có cái chung thuần túy tồn tại bên ngoài cái riêng, cái chung tồn tại thực sự, nhưng không tồn tại ngoài cái riêng mà phải thông qua cái riêng. Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung. Không có cái riêng nào tồn tại tuyệt đối độc lập, không có liên hệ với cái chung, sự vật, hiện tượng riêng nào cũng bao hàm cái chung.Cái riêng là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là cái bộ phận, nhưng sâu sắc hơn cái riêng. Cái riêng phong phú hơn cái chung vì ngoài những đặc điểm chung, cái riêng còn có cái đơn nhất. Cái chung sâu sắc hơn cái riêng vì cái chung phản ánh những thuộc tính, những mối liên hệ ổn định, tất nhiên, lặp lại ở nhiều cái riêng cùng loại.Do vậy cái chung là cái gắn liền với cái bản chất, quy định phương hướng tồn tại và phát triển của cái riêng.Cái đơn nhất và cái chung có thể chuyển hóa lẫn nhau trong quá trình phát triển của sự vật. Cái đơn nhất là phạm trù để chỉ những nét, những mặt, những thuộc tính ... chỉ có ở một sự vật, một kết cấu vật chất, mà không lặp lại ở sự vật, hiện tượng, kết cấu vật chất khác. Trong hiện thực cái mới không bao giờ xuất hiện
đầy đủ ngay,mà lúc đầu xuất hiện dưới dạng cái đơn nhất. Về sau theo quy luật, cái mới hoàn thiện dần và thay thế cái cũ, trở thành cái chung, cái phổ biến. Ngược lại cái cũ lúc đầu là cái chung, cái phổ biến, nhưng về sau do không phù hợp với điều kiện mới nên mất dần đi và trở thành cái đơn nhất. Như vậy sự chuyển hóa từ cái đơn nhất thành cái chung là biểu hiện của quá trình cái mới ra đời thay thế cái cũ. Ngược lại sự chuyển hóa từ cái chung thành cái đơn nhất là biểu hiện của quá trình cái cũ, cái lỗi thời bị phủ định.
Nói chung việc giải quyết mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng không hề đơn giản, Lenin đã cho rằng:
‘’ Con người bị rối lên chính là ở trong phép biện chứng của cái riêng và cái chung. ‘’
Ý nghĩa phương pháp luận :
Từ việc phát hiện mối quan hệ biện chứng giữa cái chung và cái riêng, Triết học Mác- Lenin nêu ra một số ý nghĩa phương pháp luận cho mối quan hệ này để ứng dụng vào thực tiễn và tư duy, cụ thể là:
Chỉ có thể tìm cái chung trong cái riêng, xuất phát từ cái riêng, từ những sự vật, hiện tượng riêng lẻ, không được xuất phát từ ý muốn chủ quan của con người bên ngoài cái riêng vì cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng để biểu thị sự tồn tại của mình.
Cái chung là cái sâu sắc, cái bản chất chi phối cái riêng, nên nhận thức phải nhằm tìm ra cái chung và trong hoạt động thực tiễn phải dựa vào cái chung để cải tạo cái riêng. Trong hoạt động thực tiễn nếu không hiểu biết những nguyên lý chung (không hiểu biết lý luận), sẽ không tránh khỏi rơi vào tình trạng hoạt động một cách mò mẫm, mù quáng.
Trong quá trình phát triển của sự vật, trong những điều kiện nhất định "cái đơn nhất" có thể biến thành "cái chung" và ngược lại "cái chung" có thể biến thành "cái đơn nhất", nên trong hoạt động thực tiễn có thể và cần phải tạo điều kiện thuận lợi để "cái đơn nhất" có lợi cho con người trở thành "cái chung" và "cái chung" bất lợi trở thành "cái đơn nhất". Trong Bút ký Triết học, Lenin viết:
Người nào bắt tay vào những vấn đề riêng trước khi giải quyết vấn đề chung, thì kẻ đó, trên mỗi bước đi, sẽ không sao tránh khỏi những vấp váp những vấn đề chung một
cách không tự giác. Mà mù quáng vấp phải những vấn đề đó trong từng trường hợp riêng có nghĩa là đưa ra những chính sách của mình đến chỗ có những sự dao động tồi tệ
nhất và mất đi hẳn tính nguyên tắc.
I – Vận dụng:
Giải quyết vấn đề về khoa học và cụ thể là toán học :
Toán học là một khoa học cụ thể, có quan hệ chặt chẽ với triết học. Trong các quy luật khách quan về thế giới vật chất, toán học cũng vận động theo các quy luật khách quan đó. Là người nghiên cứu toán học, ta hiểu rằng, bất cứ một lời giải cho một bài toán cụ thể nào đều dựa vào mối quan hệ giữa các yếu tố trong giả thiết (đề bài). Nói rộng hơn, đó là sự thể hiện của mối quan hệ biện chứng giữa các yếu tố toán học. Trên cơ sở đó, xuất phát từ việc nghiên cứu kĩ về phép biện chứng duy vật, ta sẽ thu được những kết quả thú vị trong quá trình nghiên cứu toán học. Trong phần này, xin đưa ra quan điểm về việc vận dụng phép biện chứng duy vật vào sáng tạo toán học bằng việc xây dựng kiến thức về cách thức
tiếp cận thông qua các vấn đề cụ thể. Từ đó, sẽ là cơ sở để chúng ta mở rộng vấn đề hơn trong những đề tài tương tự.
VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VỚI CẶP PHẠM TRÙ “CÁI CHUNG – CÁI RIÊNG”.
Đặt vấn đề :
Hẳn chúng ta đã biết định lý Pi-ta-go quen thuộc trong chương trình hình học lớp 8: trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông. Nếu học xong nội dung của định lý này, chúng ta hiểu được định lý, có thể áp dụng vào giải một số bài toán liên quan đến công thức trong định lý thì quả thật chưa đủ. Bởi lẽ, đây là kiến thức tương đối thú vị về tam giác vuông, từ công thức của định lý này, ta có thể tìm ra các bộ số Pi-ta-go chẳng hạn bộ số (3,4,5) hay bộ số (6,8,10)(vì 32+42=52; 62+82=102), hay có thể áp dụng kết hợp với tính đồng dạng để đo chiều cao của cây, của các công trìnhcòn rất nhiều ứng dụng vô cùng thú vị nữa. Tôi đặt ra vấn đề này bởi vì là một người học toán, nghiên cứu toán, nếu như sau mỗi một bài toán cụ thể nào đó, ta dừng lại và chấp nhận nó như một chân lý khách quan và là một thành quả của bản thân thì chưa đủ. Như vậy chúng ta chỉ tiếp cận được những cái rất khô và sơ cứng mà lâu nay ta nhầm tưởng và mặc định tính chất khô khan cho toán học. Thực ra, ta sẽ thấy toán học rất linh động, uyển chuyển, mới lạ, hào hứng và thú vị. Để có được chất nghệ thuật trong toán học, với mỗi vấn đề toán học, ta cần tìm hiểu nó một cách rõ ràng. Đồng thời đừng quên mở rộng vấn đề cho bài toán. Việc mở rộng này hoàn toàn không khó khăn. Chỉ bằng cách đặt những câu hỏi: Tại sao? Vì sao? Thiếu cái này thì sẽ thế nào? Thêm cái kia thì sẽ ra sao? Hay: Đối với vấn đề tương tự, liệu ta có thu được kiến thức tương tự không?...Và cuối cùng không quên đặt câu hỏi: Thực tế ứng dụng của bài toán là gì? Việc trả lời các câu hỏi trên không hề dễ, nhưng cũng chẳng khó. Điều quan trong ở đây chính là cách thức tiếp cận như thế nào? Và thực hiện nó ra sao? Đó chính là nội dung của việc ứng dụng phép biện chứng duy vật vào toán học mà ta sẽ làm rõ. Ta lần lượt đi vào các bài toán và đưa ra cách thức sáng tạo trong mỗi hướng tiếp cận để thu được những kết quả mới thú vị. Cái mà chúng ta thường gọi là sáng tạo toán học.
Trước hết là từ bài toán vừa đề cập trên. Từ định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông, ta sẽ thu được định lý Hàm số cosin trong tam giác thường. Cụ thể như thế nào, chúng ta cùng nghiên cứu tiếp 
Vận dụng phương pháp.
Bài toán 1: Từ định lý Pi-ta-go đến định lý Hàm số cosin trong tam giác.
Theo định lý Pi-ta-go, ta có a2 = b2 + c2 (1) với a là cạnh huyền và b, c là các cạnh góc vuông. Trong nội dung này, ta có các yếu tố : thứ nhất là tam giác (cụ thể là tam giác vuông), thứ hai là cạnh (cụ thể là 1 cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông), thứ ba là góc (cụ thể góc A = 900 , B+C = 900 ). Theo phép biện chứng duy vật, các yếu tố này sẽ quan hệ chặt chẽ với nhau, ràng buộc nhau, hay đối lập nhau. Ta thấy, mối quan hệ này là rõ ràng. Bởi trong tam giác vuông, hẳn phải có 1 cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông. Yếu tố quan hệ này chưa làm rõ được vai trò mà chúng ta định hướng. Mối quan hệ mà chúng ta cần đề cập
chính là tính chất vuông của tam giác. Từ đây đã xuất hiện mối liên hệ phổ biến giữa cái chung (là tam giác thường) và cái riêng (là tam giác vuông). Nó cho phép chúng ta đặt ra câu hỏi : Ở tam giác vuông thì có đẳng thức (1), vậy đối với tam giác thường ta sẽ có đẳng thức tương tự hay không? Trả lời câu hỏi này, tức là chúng ta đã có được sự sáng tạo trong bài toán. Đó là việc đi từ cái riêng để tìm ra cái chung, cái tổng quát.
Ta sẽ phân tích để đưa ra câu trả lời cho câu hỏi vừa nêu. Từ mối quan hệ giữa cái riêng (tam giác vuông) và cái chung (tam giác thường) và mối quan hệ giữa yếu tố cạnh với tam giác, góc với tam giác, ta dự đoán hẳn phải có một biểu thức tổng quát nào cho tam giác thường tương tự như (1) và nó sẽ trở thành (1) khi mà góc A = 900. Từ đây cho ta một dự đoán, trong biểu thức tổng quát cho tam giác thường sẽ có hai vế. Một vế chứa a2 và vế còn lại chứa b2+c2, và một trong hai vế trên có thể chứa thêm một số hạng nào đó có chứa biểu thức liên quan đến góc A và số hạng này sẽ triệt tiêu khi A = 900. Lại chú ý rằng, cos900 = 0, thế nên có thể nói rằng, số hạng này sẽ chứa cos A. Bây gió ta để ý tới (1) xem có điều gì đặc biệt. Đây là đẳng thức thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh. Và điều đặc biệt chính là đều có cấp bằng nhau (cấp 2 – chính là số mũ của a, b, c). Thế nên, trong số hạng đang xét, chắc hẳn sẽ chứa biểu thức bậc 2 và cosA (*) . Bây giờ ta khẳng định trong hệ thức tổng quát sẽ chứa:
Cả a2 và b2+c2
Số hạng là tích của hai chiều dài nào đó (để đảm bảo cấp 2) với cosA
Hai vế đẳng cấp (có cấp bằng nhau)
Cũng từ biểu thức (1) ta thấy b và c có vai trò như nhau và khác vai trò với a (cái chung – cái riêng), vì thế trong hệ thức tổng quát phải đối xứng đối với b và c tức là khi hoán đổi b và c cho nhau, hệ thức không thay đổi. Vì vậy, số hạng chưa biết phải có dạng là bội số của a2 .cosA, hoặc b.c.cosA hay b’.c’.cosA. Do đó, chúng ta có thể giả định hệ thức tổng quát như sau:
Hoặc a2 = b2 + c2 + Ka2 .cosA (2) (K hệ số nào đó) Hoặc a2 = b2 + c2 + Kb.c.cosA (3)
Hoặc a2 = b2 + c2 + Kb’.c’.cosA (4) ( với b’ và c’ có vai trò giống b và c)
Việc đưa ra được các dạng của hệ thức trên thông qua phân tích mối quan hệ biến chứng giữa các yếu tố trong bài toán, và thực chất để có sự suy luận về dạng biểu thức tổng quát chính là chủ yếu dựa vào mối quan hệ phổ biến. Trong đó tập trung vào mối quan hệ cái chung-cái riêng, bản chất-không bản chất. Tính chất đẳng cấp, và dẫn đến tính đối xứng với b và c chính là sự thể hiện bản chất vấn đề. Đến đây, để đưa ra được hệ thức tổng quát từ ba hệ thức phỏng đoán trên thì quả thật không hề dễ. Bởi chúng có tính chất tương đương. Tuy nhiên, nếu dựa vào mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng, ta sẽ có được câu tra lời. Trong mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng, phép duy vật biện chúng khẳng định quy luật nào đúng cho cái chung thì cũng đúng cho cái riêng. Hệ thức chúng ta đang xây dựng có thể xem là một quy luật khách quan. Ở đây ta có thể xét cái riêng là một trường hợp đặc biệt của cái chung. Hệ thức là tổng quát cho một tam giác bất kì, nghĩa là nó cũng đúng với các tam giác đặc biệt. Với tam giác vuông tại A thì hiển nhiên thỏa mãn.
Bây giờ ta xét đối với một tam giác có B trùng với C, nghĩa là có A = 0, a=0, b=c (ta đã xét đoạn thẳng AB như là một tam giác đặc biệt ABC với B trùng với C). Khi đó, (2) cho ta 0 = 2b2. Điều này không thỏa vì b khác 0. Nên (2) loại. Còn (3) cho ta 0 = 2b2 + Kb2, nên K = -2. Vậy hệ thức (3) là có thể chấp nhận. Đối với (4), ta thấy việc xây dựng các yếu tố b’, c’ phức tạp. Trên cơ sở có (3) ta sẽ dừng việc xét (4) mà thử kiểm tra tính chính xác của (3). Chẳng hạn ta áp dụng ngay với một tam giác đều. Khi đó, (3) cho a2 = a2 + a2 - 2a2cos600. Điều này hoàn toàn chính xác. Nếu vẫn chưa chắc ăn, chúng ta đi vào chứng minh hệ thức này. Tức là sẽ giải bài toán : “Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng a2 = b2
+ c2 - 2b.c.cosA”.
Việc chứng minh này khá đơn giản. Trên cơ sở là xuất phát từ tam giác vuông, vì vậy ta sẽ phân tích tam giác thường thành tam giác vuông để áp dụng.
Vẽ đường cao BH (**) (hình 1.1). Ta sẽ thu được 2 tam giác vuông tại H là HAB và HCB. Áp dụng
A
b
c
H
định lý Pi-ta-go cho 2 tam giác này ta có
BC2 = HB2 + CH2 và AB2 = HB2 + AH2 nên thế
vào ta có BC2 = AB2 - AH2 + CH2 . Mà ta có CH2 = (AC – AH)2 = AC2 – 2AC.AH +AH2.
B	a	C
Vậy thì BC2 = AB2 - AH2 + AC2 – 2AC.AH +AH2.
= AB2 + AC2 – 2AC.AH. Trong tam giác vuông ABH tại H ta có AH = AB.cos A. Tóm lại
BC2 = AC2 + AB2 -2AC.AB.cosA, hay a2 = b2 + c2 - 2b.c.cosA.
Hình 1.1
Nhận xét: Trong (*) ta xét cosA, nếu không được, ta cũng có thể xét các hướng khác như cotgA, hay sin2A vì chúng đều triệt tiêu khi A= 900. Còn trong (**), ta có thế vẽ đường cao BH hoặc CK vì đều có thể chia tam giác đã cho thành hai tam giác vuông và đặc biệt, chia như vậy, ta có một tam giác vuông có cạnh huyền BC, dễ để tính a như trong hệ thức ở vế trái.
Như vậy ta vừa hoàn thành một việc đó là sáng tạo toán học. Nói rộng ra, đó có thể xem là những phát minh. Một số chúng ta thường nghĩ rằng, phát minh toán học phải là những cái gì đó rất ghê gớm, phải là tìm ra vấn đề gì đó mới toanh. Vấn đề không hẳn là như vậy. Bởi vì làm gì có cái mới tuyệt đối, cái mới không dính líu gì đến cái cũ. Mọi phát minh khoa học dù là độc đáo, vĩ đại đến đâu cũng đều bắt nguồn từ cái cũ, kế thừa cái cũ và mở rộng cái cũ. Vì thế, việc chúng ta vừa làm vô cùng có ý nghĩa. Nó giúp chúng ta có những thành quả quan trọng trong công việc nghiên cứu của mình. Khi là một sinh viên đại học, hay một giáo viên, hay đại loại là người đã học qua chương trình toán phổ thông, chúng ta thấy rằng, kiến thức về định lý Hàm số cosin trong tam giác là bình thường. Nhưng giả định như chúng ta là một học sinh lớp 8, với cách thức tiếp cận như trên, rõ ràng ta đã có
một phát minh lớn. Đây cũng là một điều nhắn nhủ đến các giáo viên toán. Hãy tập cho học sinh của mình làm quen với sáng tạo toán học.
Nếu ta dừng nội dung bài toán ở đây, cũng có thể được. Vì đã cho chúng ta thành quả. Tuy nhiên, như vậy là chưa làm rõ hết vấn đề. Thứ nhất, tính chất tương tự của a, b, c hay nói khác đi, do vai trò như nhau của a, b, c nên ta sẽ còn hai hệ thức tương tư như hệ thức trên. Thứ hai, trong phần nghiên cứu trên, có lúc ta đã nhìn một đoạn thẳng như là một tam giác đặc biệt có hai đỉnh trùng nhau. Đó chính là mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng triết học. Hệ thức trên đúng cho tam giác, vậy bằng cái nhìn biện chứng, cái nhìn tương đương, ta lại tiếp tục có thể xem tam giác là một trường hợp đặc biệt của một tứ giác có hai đỉnh trùng nhau. Thử theo lối suy nghĩ này, liệu ta có hệ thức nào cho tứ giác không? Ta bắt tay vào nghiên cứu bài toán thứ hai.
Bài toán 2: Từ định lí Pi-ta-go đến hệ thức lượng trong tứ giác.
Với bài toán này, nhiệm vụ của ta là sẽ đi tìm một hệ thức lượng trong tứ giác mà hệ thức a2 = b2 + c2 – 2bccosA là một trường hợp đặc biệt (quan hệ cái riêng – cái chung) khi một cạnh của nó bằng 0.
E
A
d
D
c
G
b
B
òn nế
a
C
óc E thì tí
Hình 1.2
Bây giờ giả sử ta xét tứ giác ABCD (hình 1.2). Đặt BC=a, CD=b, AB=c, AD=d. Ta thấy rằng, khi d=0, ta sẽ có tam giác ABC, tức là khi đó A trùng với D. Lúc này ta có hệ thức trong tam giác như trên. Trên cơ sở đó, nối AB với CD, thì khi d=0, hệ thức trở thành a2 = b2 + c2 – 2bccosE = b2 + c2 – 2bccosG (vì d=o thì góc E=D). Lại chú ý rằng khi d=0 thì AC=CD=b,BD=BE=c.
Từ đó có thể dự đoán hệ thức tổng quát có dạng:
a2+ Kd2 = b2 + c2 – 2BE.CEcosE (5)
hoặc a2+ Kd2 = b2 + c2 – 2BD.ACcosG (6)
u là g
vế, c
ch
(Việc thêm Kd2 để đảm bảo tính đẳng cấp bậc 2 giữa 2 chiều dài là BE.CE, góc G thì là BD.AC)
Bây giờ ta lại dựa vào cái riêng để làm rõ cái chung. Nếu các hệ thức trên đúng cho tứ giác bất kì thì hiển nhiên đúng cho hình vuông. Ta xét hình vuông ABCD, nghĩa là sẽ có
a = b = c = d , Eˆ = ¥,Gˆ = 900 . Từ (5) ta có :
a2 + Ka2 = a2 + a2 - ¥ . Điều này không đúng do
vế phải vô hạn, vế trái hữu hạn. Nên (5) bị loại. Với (6) thì có ngay a2 + Ka2 = a2 + a2 , dễ
suy ra
K = 1. Vậy có thể chấp nhận (6) với
K = 1. Để kiểm định, ta thử xét với hình chữ
nhật ABCD mà
Gˆ = 600 . Lúc này
a = d ,b = c = a
3, BD = AC = 2a.
Thì có (6) trở thành
a2 + a2 = 3a2 + 3a2 - 2.4a2.cos 600 . Đẳng thức này hoàn toàn đúng. Để chắc chắn hơn nữa ta đi vào chứng minh. Việc chứng minh hoàn toàn không khó. Xin dành cho bạn đọc kiểm chứng. Vậy ta có thể kết luận trong tứ giác ABCD, với G là giao điểm của hai đường chéo
thì có hệ thức: a2 + d 2 = b2 + c2 - 2BD.AC.cosG
Nhận xét : Như vậy, vận dụng phép biện chứng duy vật vào nghiên cứu toán học nghĩa là trước một vấn đề toán học, ta phải có cách nhìn biện chứng. Cần phải phân tích các yếu tố. Xem xét các yếu tố theo các mối quan hệ biện chứng với nhau. Trên cơ sở đó, xây dựng nên cách thức tiếp cận và hướng đi phù hợp. Khi xem xét một đối tượng toán học, điều quan trọng là phải hình thành cách nhìn biện chứng. Nhìn trong mối quan hệ trong - ngoài, nhìn trong sự tách biệt, nhìn trong sự tổng hợp, nhìn trọng sự cụ thể, nhìn trong sự tổng quát, nhìn trong sự tương ứng Kết hợp với lối tư duy biện chứng, ta có thể đạt được những thành quả nhất định trong quá trình nghiên cứu của mình. Như trên, việc xem xét một tam giác vuông đã đưa đến giả định cho tam giác bất kì, việc xem xét đoạn thẳng như là một tam giác có 2 đỉnh trùng nhau, một tam giác như là một tứ giác có 1 cạnh bằng 0 đều cho ta những hướng đi tốt. Việc xây dựng và giải quyết vấn đề đều dựa vào phương pháp duy vật biện chứng. Mà cụ rõ nét nhất chính là dựa vào mối liên hệ phổ biến khi xét các yếu tố toán học với quan hệ ràng buộc, chặt chẽ với nhau. Trong đó nổi lên các mối liên hệ giữa cái chung-cái riêng, giữa cái bản chất-không bản chất. Nhờ đó, ta đã hình thành phương pháp nghiên cứu đi từ cụ thể đến khái quát. Chính là lối tư duy quy nạp toán học. Trong quá trình vận dụng, chúng ta đã lấy cái riêng để khái quát cái chung, lấy cái chung để soi rọi cái riêng, lấy cái không bản chất để tìm ra cái bản chất. Tuy nhiên, việc phân loại như trên theo từ bài toán cụ thể chỉ mang tính chất tương đối. Để có được cách tiếp cận và nghiên cứu một cách rõ nét, yêu cầu chúng ta phải rèn luyện tư duy toán học cũng như nắm vững bản chất của phép biện chứng duy vật, vận dụng có hiệu quả lối tư duy phương pháp luận của bài học.
Để làm rõ hơn nữa nội dung của chuyên đề, xin đưa ra bài toán ba và cách thức tiếp cận vấn đề theo phép biện chứng duy vật.
Bài toán 3: Từ định lý Pi-ta-go đến định lý diện tích các mặt trong tam diện vuông.
Lại quay về với định lý xuất phát, định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông. Các nội dụng chúng ta vừa khám phá là chúng ta nhìn nhận trong hình học phẳng. Mở rộng vấn đề cho hình học không gian sẽ là một kết quả lý thú cho định lý này. Xét tính chất tương ứng giữa các không gian, ta có một vài nhận định sau:
Một mặt phẳng trong không gian có thể xét tương ứng như là một đường thẳng trong mặt phẳng.
Một đường thẳng trong không gian có thể xét như là một điểm trong mặt phẳng.
Từ đó, một tam giác trong mặt phẳng có thể xét tương ứng như là một tứ diện trong không gian. Lúc này, yếu tố cạnh, độ dài đoạn thẳng, diện tích trong mặt phẳng sẽ tương ứng lần lượt với tam giác, diện tích tam giác, thể tích trong không gian.
Bằng một số nhận định đó, áp dụng với định lý Pi-ta-go ta có thể mở rộng tam giác vuông cho tam diện vuông (tức tứ diện có 3 góc vuông tại một đỉnh). Khi đó, tương ứng với hệ thức của định lý Pi-ta-go: “trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương các cạnh góc vuông” liệu có phải là “trong tam diện vuông, bình phương diện
tích của mặt đối diện với góc tam diện đó bằng tổng các bình phương diện tích của ba mặt kia” ?
Kết quả này là hoàn toàn có cơ sở, ta sẽ thử đi vào chứng minh tính đúng đắn của nó. Giả
sử ta có tam diện vuông tại A là ABCD (hình 1.3). Đặt
AB = x, AC = y, AD = z.
Áp dụng
định lý Pi-ta-go cho các tam giác vuông tại A là ABC, ACD, ABD ta sẽ tính được
BC =	x2 + y2 ,
z2 + x2
CD =	y2 + z2 , BD =	.	A
S
D
Từ công thức Hê-rông về diện tích tam giác BCD
ta sẽ có
S = SBCD =
p( p - a)( p - b)( p - c)
với a = BC ,b = CD, c = DB
và nửa chu vi
x2 + y2 +	y2 + z2 +	z2 + x2

B
C
Hình 1.3
tam giác p =
2
x2 y2 + y2z2 + z2x2
Từ đó ta tính được
SBCD =4
đúng bằng tổng các bình phương diện tích các tam giác ABC, ACD, ABD.
Kết luận chung: Trong phần này, chúng ta đã vận dụng phép biện chứng duy vật thông qua “cái nhìn biện chứng” giữa các yếu tố toán học. Từ một vấn đề toán học cụ thể và đơn giản, ta đã sáng tạo nên một số kiến thức rộng hơn và ý nghĩa. Quá trình phát minh toán học đến đây rõ ràng ta thấy nó không phải là cái gì đó cao siêu lắm. Tất cả đều kế thừa từ những kiến thức cơ bản. Những kiến thức này là nền tảng để làm ra những phát minh. Trên cơ sở phương pháp biện chứng duy vật với việc tập trung vào nghiên cứu mối quan hệ giữa “cái chung” và “cái riêng” đã cho ta phương pháp nghiên cứu hiệu quả. Phương pháp này thể hiện theo các hướng “đi từ cái riêng đến cái chung” gọi là “khái quát hóa”, và “đi từ cái chung đến cái riêng” gọi là “đặc biệt hóa”. Phương pháp tiếp cận này đã được sử dụng từ rất lâu trong lịch sử toán học. Tuy nhiên, chuyên đề này đứng trên cở sở triết học để soi rọi vấn đề.
KẾT LUẬN
Toán học và triết học có quan hệ chặt chẽ với nhau trong đó phương pháp biện chứng duy vật như là một nòng cốt không thể thiếu trong toán học. Đó là một trong các phương pháp khởi nguồn cho những phát minh toán học ra đời. Xong, việc vận dụng phương pháp này trên từng lĩnh vực toán học cụ thể đòi hỏi người nghiên cứu toán phải có những kiến thức nhất đinh mà trước hết phải nắm được bản chất của phép biện chứng duy vật hay phương pháp biện chứng duy vật. Cách nhìn nhận và tiếp cận vấn đề theo nhiều chiều, nhiều hướng khác nhau của phương pháp là chìa khóa để tìm ra những lời giải thấu đáo cho nhiều bài
toán khó. Qua chuyên đề này, ngoài việc vận dụng phương pháp biện chứng duy vật vào sáng tạo toán học còn muốn gửi đến bạn đọc yêu toán và các bạn thích nghiên cứu toán những góp ý nhỏ sau:
Phải nắm thật vững các khái niệm cơ bản, các định nghĩa cơ bản. Đây là điều tối cần thiết cho một người nghiên cứu toán học.
Phải nhìn nhận một đối tượng toán học theo nhiều cách khác nhau. Không nhất nhất lúc nào “nó cũng là nó”. Chẳng hạn, 5 không phải lúc nào cũng là 5, mà 5 có thể là 0+5, 1+4,2+3,; tam giác có thể là một tứ giác có 1 cạnh bằng 0 hay có 2 đỉnh trùng nhau;Đồng thời phải biết nhìn theo hướng tương đương. Chẳng hạn, tam giác trong mặt phẳng có vai trò giống tứ diện trong không gian, hình bình hành trong mặt phẳng như một hình hộp trong không gian,
Khi lĩnh hội một kiến thức toán học mới, hãy đặt câu hỏi: Kiến thức này có thể mở rộng được không? Trường hợp đặc biệt của nó là gì? Với vấn đề tương tự, liệu có kiến thức tương tự không? Và cố gắng trả lời chúng. Đây chính là việc “khái quát hóa” hay đặc biệt hóa” và “tương tự hóa” một kiến thức toán học. Với dạng này, ta nên chú ý đến mối liên hệ “cái chung-cái riêng”. Lấy “cái chung” và “cái riêng” soi rọi cho nhau.
Sau khi đã tiếp thu kiến thức toán học nào đấy, hãy thử đặt mình vào vị trí của tác giả của kiến thức đó để thử hình dung xem người đó đã suy nghĩ như thế nào, định hướng như thế nào.
Không ngừng tìm tòi và sáng tạo để có những sản phẩm của mình. Đồng thời, không ngừng tiếp thu những kiến thức toán học mới để thúc đẩy quá trình sáng tạo.
Tạo thói quen độc lập sáng tạo, tích cực tư duy và luôn có “hoài nghi toán học”. Nghĩa là trước một vấn đề toán học cần làm rõ, ta hãy đưa ra những câu hỏi: Nó là gì? Tại sao? Vì sao?...và tự mày mò, dự đoán, vận dụng kiến thức đã học mà làm rõ chúng để có được hiểu biết về bản chất của chúng.
Khi gặp các vấn đề xung quanh cuộc sống, hãy thử tìm xem có mối liên hệ với toán học không, từ đó hãy vận dụng kiến thức toán học của mình để giải thích chúng, cải biến chúng và không quên mở rộng chúng. Tức là phải biết “lôi toán học vào cuộc sống”.
Tích cực tìm hiểu những kiến thức của các khoa học khác đặc biệt là triết học để phục vụ tốt hơn cho toán học và cho cuộc sống thực tiễn của bản thân. Và kết hợp phát triển toán học trong các ứng dụng của các khoa học khác.
Tìm hiểu và xây dựng thêm nhiều phương pháp nghiên cứu. Từ đó, trước mỗi vấn đề toán học, hãy tiếp cận chúng theo các phương pháp khác nhau.
Hãy tập cho bản thân thói quen sáng tạo toán học, hình thành sự say mê sáng tạo. Luôn có niềm tin vào hướng đi toán học của mình.
Kết thúc chuyên đề xin có lời nhắn nhủ: hãy tìm cái đẹp trong những con số và những con người!
Tài liệu tham khảo :
Wikipedia:	:
%AAng_(Ch%E1%BB%A7_ngh%C4%A9a_Marx-Lenin)
Tailieu.vn:
 toan-hoc-1475395.html